Теоретичний матеріал за темою “Многочлени”

Многочлени

I. Многочлен.

1. Многочленом називається сума одночленів.

2.Одночлени, які складають многочлен, називаються Членами цього Многочлена.

Наприклад: Вираз 9х4у + 2,3ху3 – 6,7ху є многочленом. Одночлени 9х4у, 2,3ху3 і 6,7ху є членами даного многочлена.

3. Подібними членами многочлена називаються ті його доданки, які мають однакову буквену частину.

4. Щоб Звести подібні члени многочлена, треба їх коефіцієнти додати і одержане число помножити на їх спільну буквену частину.

Наприклад: а) Многочлен 2х6 – 8,2х5 + 5х – 11

не має подібних членів.

Б) Подібними членами многочлена 7а5с2 – 3а2с + 1,5а5с2 + ас є 7а5с2 і 1,5а5с2 , оскільки вони мають однакову буквену частину а5с2.

Тоді 7а5с2 + 1,5а5с2 = (7 + 1,5) а5с2 = 8,5 а5с2 .

Тобто : 7а5с2 – 3а2с + 1,5а5с2 + ас = 8,5а5с2 – 3а2с + ас.

В) Многочлен може мати декілька подібних членів:

2х4 – 3а B С + 3,2 – 2,4 у3 – 5,7а B С + 1,8у3 + 9х4 = 11х4 – 0,6у3 – 8,7аbс + 3,2.

5. Многочленом стандартного вигляду Називається многочлен, що є сумою одночленів стандартного вигляду, серед яких немає подібних членів.

Наприклад: а) Многочлен 15х2у + 8ху2 – 13ху є многочленом стандартного вигляду.

Б)

Многочлен – 4mn2 – m3n – 5m3n + 12mnm4 не є многочленом стандартного вигляду, бо одночлен 12mnm4 не записаний у стандартному вигляді, а одночлени – m3n та -5m3n – подібні.

6. Степенем многочлена стандартного вигляду називається найбільший степінь одночленів, які утворюють даний многочлен.

Наприклад : а) 14а7b2 – 6аb + 2,5а3b – многочлен 9-го степеня.

(Тому, що з 7 + 2 = 9, 1+ 1 = 2 та 3 + 1 = 4 найбільшим степенем є 9).

Б) – 4 х5 + 6 х7у8 – у4 + 9 х3у – многочлен 15-го степеня.

ІІ. Додавання та віднімання многочленів.

1. Щоб Додати два (та більше) многочлена треба їх записати, поєднуючи знаком “+” та у записаній сумі привести подібні члени.

2. Щоб знайти Різницю двох многочленів треба з першого многочлена відняти другий многочлен (узяв його у дужки), а далі скористуватися правилами розкриття дужок та привести подібні члени.

Наприклад : a) ( 2ab – 5c ) + ( 3a2b + 3c ) = 2ab – 5c + 3a2b + 3c = 3a2b + 2ab –

2c.

Б) ( 2ab – 5c ) – ( 3a2b + 3c ) = 2ab – 5c – 3a2b – 3c = – 3a2b + 2ab – 8c.

ІІІ. Множення одночлена на многочлен та множення многочлена на многочлен.

1. Щоб Помножити одночлен на многочлен, треба одночлен помножити на кожний член многочлена й одержані добутки додати:

A ( B + C ) = Ab + Ac.

Наприклад : а) 5m (3m3 + 4m – 2) = 5m∙3m3 + 5m∙4m – 5m∙2 = 15m4 + +20m2 – 10m.

Б) – 3,1ху3 ( 7ху2 + 2х2 – 3у – 1 ) = – 3,1ху3 ∙7ху2 – 3,1ху3 ∙2х2 –

– 3,1ху3 ∙(- 3у) – 3,1ху3 ∙(- 1) = – 21,7х2у5 – 6,2х3у3 + 9,3ху4 +3,1ху3 .

2. Щоб Помножити многочлен на многочлен, треба кожен член одного многочлена помножити на кожен член другого многочлена і одержані добутки додати:

( A + b )( c + d ) = ac + ad + bc + bd.

Наприклад : а) ( х + 3 ) ( 2х2 – 1 ) = х∙2х2 + х∙( – 1) + 3∙2х2 + 3∙(- 1) = 2х3 –

х + 6х2 – 3 = 2х3 + 6х2 – х – 3.

Б) ( 3y + 7 ) ( 2y2 – y + 4 ) = 3y ∙ 2y2 + 3y ∙ (- y) + 3y ∙ 4 + 7 ∙ 2y2 +

+ 7 ∙ ( – y ) + 7 ∙ 4 = 6y3 – 3y2 + 12y + 14y2 – 7y + 28.