Внимание учащимся 9-а класса! Вашему вниманию предлагаются примеры решений задач на тему:»Арифметическая прогрессия»

Определение 1. Числовая последовательность (an)n Î N называется арифметической прогрессией, если существует действительное число d (называемое разностью прогрессии), такое, что an+1 — an = d, («n Î N) (1)
то есть, каждый член последовательности (начиная со второго) равен предыдущему плюс одно и то же число (разность прогрессии).
Пример 1. Проверить, являются ли данные последовательности арифметическими прогрессиями
a) an = 2n — 1, b) 3, 6, 9, …, 3k, … c) an = 1/n.
Решение. a) Разность an+1 — an является постоянным числом для любого n Î N
an+1

— an = 2(n + 1) — 1 — (2n — 1) = 2
следовательно, последовательность, заданная общим членом an = 2n — 1, является арифметической прогреcсией c разностью 2:
1, 3, 5, …, 2n — 1, …
b) Аналогично решению примера a), получим
an+1 — an = 3(n + 1) — 3n = 3, («n Î N)
и, следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью 3.
c) Выпишем первые три члена последовательности a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3 и заметим, что a2 — a1 = -1/2 ≠ a3 — a2 = -1/6, то есть, данная последовательность не образует арифметическую прогрессию.
Иначе, рассматривая разность, заметим, что она зависит от n (не является постоянным числом) и, следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.
Свойства арифметической прогрессии
Доказательства приведенных ниже свойств можно найти, например, в.
P1. Общий член арифметической прогрессии an определяется по формуле an = a1 + (n — 1)d, (2)
где a1 — первый член прогрессии, d — ее разность.
P2. (Характеристическое свойство арифметической прогрессии). n-ый член арифметической прогрессии является средним арифметическим равноудаленных от него членов прогрессии: an-k + an+k = 2-an, (3)

Замечание. Из свойства P2 следуют необходимые и достаточные условия:
a) три числа a, b, c (в указанной очередности) образуют арифметическую прогрессию, если 2b = a + b, (4)

b) три числа a, b, c (независимо от очередности) образуют арифметическую прогрессию, если (2b — a — c)(2c — a — b)(2a — b — c) = 0. (5)

P3. Если a1, a2, …, an, … — арифметическая прогрессия и k + n = m + p (k, n, m, p Î N), то ak + an = am + ap. (6)

P4. Сумма Sn первых n членов арифметической прогрессии равна (7)
или, учитывая (2) (8)

Определение 2. Арифметическая прогрессия называется возрастающей (убывающей если ее разность — положительное (отрицательное) число. Если разность прогрессии равна нулю, имеем постоянную последовательность.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 2. Определить арифметическую прогрессию, если a3 = 2 и a5 = -2.
Решение. Используя формулу общего члена арифметической прогрессии, получим систему a3 = a1 + 2d,
a5 = a1 + 4d,
или, учитывая условия примера, a1 + 2d = 2,
a1 + 4d = -2,
откуда находим первый член арифметической прогрессии a1 = 6 и ее разность d = -2.
Пример 3. Определить число x, если числа a — x, x, b (a, b даны) в указанной последовательности образуют арифметическую прогрессию.
Решение. Используя характеристическое свойство арифметической прогрессии, получим линейное уравнение
2x = a — x + b,
откуда
Пример 4. Определить арифметическую прогрессию, сумма первых n членов которой определяется по формуле
Sn = 3n2 + 6n (n ≥ 1).
Решение. Поскольку сумма первых (n — 1) членов прогрессии равна
Sn-1 = 3(n — 1)2 + 6(n — 1) = 3n2 — 3, (n ≥ 2)
и Sn — Sn-1 = an, следует, что
an = 3n2 + 6n — 3n2 + 3 = 6n + 3.
Последовательно подставляя в формулу n-ого члена n = 1,2,3,…, получим a1 = 9, a2 = 15, a3 = 21, …
Пример 5. Определить сумму первых девятнадцати членов арифметической прогрессии a1, a2, a3, …, если
a4 + a8 + a12 + a16 = 224.
Решение. Заметим, что 4 + 16 = 8 + 12 и, следовательно, ) a4 + a16 = a8 + a12. Учитывая, что сумма этих членов равна 224, найдем, что a4 + a16 = 112.
Поскольку ) и a1 + a19 = a4 + a16 = 112 (1 + 19=4 + 16), то