Интерполяция многочленами

Если задана функция y(x) , то это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоемко. Например, у(х) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра или у(х) измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно.

Функция у(х) может участвовать в каких-либо физико-технических

или чисто математических расчетах, где ее приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у(х) приближенной формулой, то есть подобрать некоторую функцию j (х), которая близка в некотором смысле к у(х) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у(х) ” j (х).

Большая часть классического численного анализа основывается на приближении многочленами, так как с ними легко работать. Однако для многих целей используются и другие классы функций.

Выбрав узловые точки и класс приближающих функций, мы должны еще выбрать одну определенную функцию из этого класса посредством

некоторого критерия – некоторой меры приближения или “согласия”.

Прежде чем начать вычисления, мы должны решить также, какую точность мы хотим иметь в ответе и какой критерий мы изберем для измерения этой точности. Все изложенное можно сформулировать в виде четырех вопросов: 1. Какие узлы мы будем использовать? 2. Какой класс приближающих функций мы будем использовать? 3. Какой критерий согласия мы применим?

4. Какую точность мы хотим? Существуют 3 класса или группы функций, широко применяемых в численном анализе. Первая группа включает в себя линейные комбинации функций 1, х, х 2 , … , х n, что совпадает с классом всех многочленов степени n (или меньше).

Второй класс образуют функции cos a